Александър Божинов е роден на 24 февруари 1878 г. в Свищов. През 1896 г. постъпва в Държавното рисувално училище в София (днес НХА). Дарбата му на карикатурист се проявява още в първите студентски години. От 1902 г. ди 1904 г. живее и работи като свободен художник в Мюнхен. След завръщането си в България става един от най-популярните и ценни български карикатуристи. Активно участва в ежедневния печат с битови и злободневни политически карикатури. Автор е на множество портретни карикатури на дейци на културата и изкуството. Налага се със свой оригинален почерк.
Заедно с Елин Пелин основава и редактира първото в България хумористично списание „Българан“ (1904-1909 г.) Божинов е също даровит поет, фейлетонист, писател и художествен критик. Работи и в областта на илюстрацията – известни са илюстрациите му към „Под игото“ на Иван Вазов. Оставил е също живописни пейзажи, натюрморти, интериори, монументални стенни композиции. Работил е в областта на приложните изкуства.
Участвал е в множество изложби в България и чужбина. Негови картини са собственост на НХГ, СГХГ, ХГ в Пловдив, Сливен, Кърджали.
През 1939 г. е избран за редовен член на БАН.
Умира на 30 септември 1968 г. в София.