Борис Коцев е роден на 8 октомври 1908 г. в град Враца в семейство на учители. Заради професията на родителите му учи на различни места, там където те преподават – селата Струпец и Долна Бешовица, Врачанско. През 1922 г. завършва прогимназия в Червен Бряг, Плевенско. От ученик е впечатлен от бита и народното творчество. 1930 г. постъпва в Художествената академия в София. Учи специалност декоративно изкуство и живопис. Докато следва, за да се издържа изписва реклами и табели, работи като карикатурист, бояджия, зидар. Завършва Академията в класа на проф. Дечко Узунов през 1935 г.
Естетическите му възприятия и творчески търсения го свързват с възникналото в 20-те години на ХХ век движение „Родно изкуство“. През 1936 г. участва за първи път в Обща художествена изложба за периода 1926-1936 г. (Х-та ОХИ). Включен е като гост на Дружество „Родно изкуство“ с картините „Трите грации“, „Мадона“, „Глава“. В българското изкуство Борис Коцев заема своето място наред с творци като Иван Милев, Владимир Димитров-Майстора, Пенчо Георгиев, Иван Пенков, Златю Бояджиев и Бенчо Обрешков.
През 1937 г. става отговорен редактор и карикатурист в прогресивния тогава хумористичен вестник „Хоровод“. В същата година е приет в Дружество „Съвременно изкуство“. В единадесетата ОХИ (1936-1937) Б.Коцев участва с „Походът на Симеон“ – темпера. В следващите ОХИ е неизменен член на „Съвременно изкуство“. През 1938, в XII-та ОХИ представя „Харамии“, „Болярско семейство“, „Севда“. В XIV-та ОХИ (1939-1940) е включен с „Добруджа“.
Борис Коцев печели конкурс и стипендия (1940) и заминава на специализация в Мюнхен. Там се усъвършенства се в областта на стенописа, мозайката и стъклописа при проф. Хилдебранд (до 1941). След обучението в Германия продължава да участва активно в художествения живот в България. През 1941 г., в XV-та ОХИ, като част от Дружество „Съвременно изкуство“ показва восъчно фреско „Сватба“. В XVI-та ОХИ (1942 г.) излага „Лято“ и „Български занаяти“. През 1943 г., на XVII-та ОХИ се представя със стенопис.
След многобройни участия в художествени изложби в България и Германия, Коцев организира първата си самостоятелна изложба в София през март 1947 г. В галерия „Призма“ представя 24 картини с разнообразни сюжети: пейзажи, битови композиции, интерпретации на народни обичаи.
Надарен със силно декоративно чувство и усет към детайла, художникът рисува еднакво вълнуващи камерни жанрови сцени и монументални епически табла. Работи като живописец, илюстратор, карикатурист, плакатист. Реализира проекти в областта на монументалната живопис, мозайката, пространственото оформление. Изработва проекти за мебели, текстил и керамика, като активно сътрудничи с предприятията производители. По негов проект са реализирани пощенски марки, търговски марки, реклами. Автор е на корици и илюстрации на многобройни литературни произведения. Рисува с всички традиционни живописни техники – маслена, темперна, фрескова, лакова, сграфито. Работи използвайки разнообразни основи – платно, картон, хартия, дърво, стена. Използва и живописния и графичния похват на изразяване. С умение си служи с многопластовост и еднопластовост, с чист цвят и преливни тонове, с лаконизъм и хумор. В голяма част от творбите му е пресътворен спомена за Враца и красотата на Северозапада. Картините му се възприемат като камерни произведения, но могат да бъдат превърнати и в стенописи, мозайки, гоблени и стъклописи. През 1958 г. оформя художествено с големи стенописни композиции палата на Министерство на земеделието на Пловдивския панаир.
Успява да реализира само три самостоятелни изложби. Втората е представена в София през януари 1957 г. Последната е с двадесет живописни творби в Румъния, Букурещ през 1959 г.
Умира на 7 декември 1959 г. в София.
Посмъртно негови самостоятелни изложби са представени в Берлин (1965 г. – Български културен център) и София (1979 г.). Творчеството му е богато и разнообразно. Той е възприеман като „един от най-странните и най-завършените художници, вживели се в българския фолклор. Борис Коцев изгражда личния си, неповторимо обаятелен стил, благодарение на тънкия си усет към ценностното в народното изкуство“.
Картини на художника са собственост на най-престижните сбирки в България: НХГ, СГХГ, БНБ, Съюз на писателите, ХГ в Стара Загора, Враца, Варна, Сливен, Плевен, Русе, музеи и галерии в страната. Негови произведения са част от колекции в Германия, Русия, Полша, Румъния, Унгария, Холандия, Китай, Бразилия.